Nombres mystères avec facteurs 3 et 7 - Corrigé

Énoncé

Un entier $n$ s'écrit $3^a{7}^b$ avec $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$ . De plus, $63n$ a deux fois plus de diviseurs que $n$ .

1. Montrer que $(a-1)b=4$ .

2. En déduire les valeurs possibles pour $n$ .

Solution

1. L'entier $n$ possède $(a+1)(b+1)$ diviseurs. 
On a : $63n=63\times 3^a\times 7^b=3^2\times 7\times 3^a\times 7^b=3^{a+2}\times 7^{b+1}$  donc l'entier $63n$ possède $(a+3)(b+2)$ diviseurs.
De plus, on sait que $63n$ a deux fois plus de diviseurs que $n$ , c'est-à-dire
$\begin{array}{rl}(a+3)(b+2)=2(a+1)(b+1)& ⟺ab+2a+3b+6=2(ab+a+b+1)\\ & ⟺ab+2a+3b+6=2ab+2a+2b+2\\ & ⟺ab-b=4\end{array}$  
et donc $(a-1)b=4$ .

2. Comme $(a-1)$ et $b$ sont des diviseurs positifs de $4$ avec $(a-1)b=4$ , on a trois situations :

• soit $a-1=1$ (donc $a=2$ ) et $b=4$ , et alors $n=3^2\times 7^4=21609$ ;
• soit $a-1=2$ (donc $a=3$ ) et $b=2$ , et alors $n=3^3\times 7^2=1323$ ;
• soit $a-1=4$ (donc $a=5$ ) et $b=1$ , et alors $n=3^5\times 7^1=1701$ .
  

L'entier $n$ peut donc valoir $1323$ ; $1701$ ou $21609$ .